Björninen on Lahden Pelicansin kasvatti. Hän toimi seuran C-nuorten kapteenina kaudella 2010–2011. Kaudella 2012–2013 Björninen nousi vain 16-vuotiaana Pelicansin A-nuorten kapteenistoon ja seuraavalla kaudella 2013–2014 hänet nimettiin 17-vuotiaana joukkueen kapteeniksi.
Huhtikuussa 2014 Björninen solmi juniorisopimuksen Pelicansin SM-liigajoukkueen kanssa. Björninen teki liigadebyyttinsä 10. lokakuuta 2014 vieraissa Saimaan Palloa vastaan. Hän teki liigauransa avausmaalin 15. marraskuuta 2014 Espoo Bluesia vastaan. Maaliskuussa 2015 Pelicans lainasi Björninen loppukaudeksi Mestis-joukkue KooKoohon, jossa hän voitti kauden päätteeksi Mestis-hopeaa.
Kaudella 2015–2016 Björninen teki SM-liigan runkosarjassa 15 tehopistettä. Hän voitti Pelicansin sisäisen tehotilaston lukemalla +6. Kaudella 2016–2017 Björninen oli joukkueen ainoa, joka pelasi kauden kaikki 60 runkosarja- ja viisi playoff-ottelua. Marraskuussa 2016 hän teki Pelicansin kanssa kaksivuotisen jatkosopimuksen kevääseen 2019 saakka.
Björninen nimettiin kaudeksi 2017–2018 Pelicansin varakapteeniksi. Hän pelasi loukkaantumisten vuoksi runkosarjassa vain 39 ottelua. Kaudeksi 2018–2019 Björninen nimettiin joukkueen kapteeniksi. Hän jakoi tehoilla 14+20=34 Pelicansin maalipörssin toisen sijan kolmen muun pelaajan kanssa. Björninen teki liigauransa ensimmäisen playoff-maalin ensimmäisessä puolivälieräottelussa 21. maaliskuuta 2019 ylivoimalla Helsingin IFK:ta vastaan.
Björninen nousi kaudella 2020–2021 SM-liigan eliittiin ja hän voitti Pelicansin sisäisen piste- ja syöttöpörssin tehoilla 16+31=47. Björninen jakoi koko liigan pistepörssin kuudennen sijan Ilveksen Eemeli Suomen kanssa. Hän voitti myös joukkueen sisäisen tehotilaston lukemalla +13. Björninen oli jälleen myös koko SM-liigan paras aloittaja 62,6% onnistumisellaan. Pudotuspeleissä Björninen oli kolmella osumallaan Pelicansin paras maalintekijä Rudolf Červenýn kanssa. Hänen kaikki maalinsa syntyivät kypärätemppuna neljännessä puolivälieräottelussa 23. huhtikuuta 2021 Turun Palloseuraa vastaan.
Kaudeksi 2021–2022 Björninen siirtyi kaksivuotisella sopimuksella KHL-seura Jokereihin.
Saavutuksia
- MM-hopea 2019
- MM-kulta 2022
- Olympiakulta 2022
- Hannes teki A-maajoukkuedebyyttinsä Sweden Hockey Gamesin 7. helmikuuta 2019 Jaroslavlissa pelatussa avausottelussa Venäjää vastaan.
Ensimmäisen A-maajoukkuemaalinsa Björninen teki Channel One Cupin 12. joulukuuta 2019 Plzeňissä pelatussa avausottelussa Tšekkiä vastaan.
Björninen pelasi myös alle 20-vuotiaiden MM-kilpailuissa vuonna 2015. Yhteensä hän on pelannut 15 nuorten maaottelua. A-maajoukkueura jatkuu.